ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Querkraft</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Querkraft</h1>

</header>

</div>

Die Querkraft ist in der <a href="Balkentheorie" title="Balkentheorie">Theorie des Balkens</a> die Bezeichnung einer <a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a>, die einerseits

<ul><li>auf den Balken als <a href="Orthogonal" class="mw-redirect" title="Orthogonal">senkrecht</a> zu seiner Längsachse gerichtete <a href="Belastung_(Physik)" title="Belastung (Physik)">Belastung</a> wirkt,</li>

<li>und die andererseits in einer Querschnittsfläche des Balkens liegt und dort dessen <a href="Beanspruchung_(Technische_Mechanik)" title="Beanspruchung (Technische Mechanik)">Beanspruchung</a> auf <a href="Scherung_(Mechanik)" title="Scherung (Mechanik)">Scherung</a> darstellt.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Die Spannungsresultanten berechnen sich in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie zu

<mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{x}(x)\\V_{y}(x)\\V_{z}(x)\end{pmatrix}}=\int {{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/284cfdd3b7e6d3d07220bdcb79e47cadf3bbc2b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:46.281ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{x}(x)\\V_{y}(x)\\V_{z}(x)\end{pmatrix}}=\int {{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A}}" loading="lazy">

mit

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{x}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c9732ffbd9dc0996b8baaaa2426ac8b41b9f34f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N_{x}(x)}" loading="lazy"> der Normalkraft</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{y}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/462bf4b2b8ca9f5fd7367b23f9a5781f04d4b7a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.544ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle V_{y}(x)}" loading="lazy"> der Querkraftkomponente in y-Richtung</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{z}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/373b803e0ccdafcb99b143422d1e884bbda492aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.496ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V_{z}(x)}" loading="lazy"> der Querkraftkomponente in z-Richtung</li>

</mrow>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(x,y,z)={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6e4ff905b57b0bf0bf4ab808b20b0386e360d4c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:30.667ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(x,y,z)={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}" loading="lazy"> dem <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a></li>

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {e} _{x}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/180360f0c926dbc7bd84c6112abffd01f51b5bdb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:16.061ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {e} _{x}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> der normalen auf den Querschnitt (in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie in x-Richtung)</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> der Querschnittsfläche in der verformten Lage</li></ul>

Die Querkraft berechnet sich somit zu

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {V} (x)=\int {\begin{pmatrix}0\\\sigma _{xy}(x,y,z)\\\sigma _{xz}(x,y,z)\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc8063a717ef0b8a4c67d86ecd884794a025e454.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:29.846ex; height:9.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {V} (x)=\int {\begin{pmatrix}0\\\sigma _{xy}(x,y,z)\\\sigma _{xz}(x,y,z)\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Differenzialbeziehungen">Differenzialbeziehungen</h2></div>

In der Balkentheorie gibt es unter den <a href="Bernoullische_Annahmen" title="Bernoullische Annahmen">Bernoullischen Annahmen</a> folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

<mfrac>

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</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} R(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f23a6e580dfb0eac28201ebe7cbd7e6f5764ed2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.147ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} R(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)}" loading="lazy"><a href="#cite_note-pichler2013baustatik2-1">[1]</a><a href="#cite_note-Kurrer-2">[2]</a></li>

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<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=R(x)-N^{II}(x)\cdot \left[{\frac {\mathrm {d} w_{v}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right]+m(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d18f17e6cc7cfb56d3fbdecc49ec292e0f37572e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:49.312ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=R(x)-N^{II}(x)\cdot \left[{\frac {\mathrm {d} w_{v}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right]+m(x)}" loading="lazy"><a href="#cite_note-pichler2013baustatik2-1">[1]</a></li>

<mfrac>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

<mrow>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c361a467ae360a960403a14ece48fd1b2490c50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:31.455ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]}" loading="lazy"><a href="#cite_note-pichler2013baustatik2-1">[1]</a><a href="#cite_note-pichler2016baustatik-3">[3]</a></li>

<mfrac>

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<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)+{\frac {V(x)}{G{\tilde {A}}(x)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a031f754471b960cf31102e42f58bff32bccabc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.107ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)+{\frac {V(x)}{G{\tilde {A}}(x)}}}" loading="lazy"></li></ul>

mit

<ul><li>der Laufkoordinate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> entlang der Balkenachse</li>

<li>dem Elastizitätsmodul <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"></li>

<li>dem <a href="Schubmodul" title="Schubmodul">Schubmodul</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht in den Differentialgleichungen auf)</li>

<li>dem <a href="Fl%C3%A4chentr%C3%A4gheitsmoment" title="Flächenträgheitsmoment">Flächenträgheitsmoment</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e0137b5af3282e18ef9ccd6e3232aa776bce3e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.311ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I(x)}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd5e851b43895fbe06436240dc7daa4d2033f082.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.903ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R(x)}" loading="lazy"> der Transversalkraft (in der <a href="Theorie_I._Ordnung" class="mw-redirect" title="Theorie I. Ordnung">Theorie I. Ordnung</a> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R(x)=V(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R(x)=V(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/960462ea04b5ad37ebfc16fb32e246d6d52616cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.928ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R(x)=V(x)}" loading="lazy">)</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ab3e825c2bf9c80d11d12e070a4626d48e03c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.926ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(x)}" loading="lazy"> der Querkraft</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N^{II}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1544b56326b070685def5b24fd098643cd0decf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.151ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle N^{II}(x)}" loading="lazy"> die Normalkraft nach Theorie <a href="Theorie_II._Ordnung" title="Theorie II. Ordnung">Theorie II. Ordnung</a> (in der <a href="Theorie_I._Ordnung" class="mw-redirect" title="Theorie I. Ordnung">Theorie I. Ordnung</a> tritt dieser Term in der Differenzialgleichung nicht auf)</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c38bbafe34a043d284f19231b946a76c0a4b16b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.209ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q(x)}" loading="lazy"> der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit<a href="#cite_note-pichler2016baustatik-3">[3]</a>)</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d2fab18f2df9b523ef8b7b63a291317294fc708.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.581ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(x)}" loading="lazy"> dem <a href="Biegemoment" title="Biegemoment">Biegemoment</a></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7426128eeeea7766bd61d64cf1d13c3b18dd9138.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.179ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m(x)}" loading="lazy"> dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit<a href="#cite_note-pichler2016baustatik-3">[3]</a>)</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c4046f1f2de7df04bde418ba2bc4d3898ac2385.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.659ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)}" loading="lazy"> der Verdrehung</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa ^{e}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5168d2fb052234e8a69285d240ffd5705d322c1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.476ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \kappa ^{e}(x)}" loading="lazy"> der eingeprägten Krümmung</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/504b9ce86ec0b1d4267109ee950497126f04713c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w(x)}" loading="lazy"> der Durchbiegung zufolge Belastung</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{v}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bb3525141cb0497fa21c9cd2b840dc8a67a0559.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.833ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w_{v}(x)}" loading="lazy"> der Durchbiegung zufolge Vorverformung</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {A}}(x)=\kappa \cdot A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c0891c9fb01dbf7626f98a076c2682a6696d891.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.774ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {A}}(x)=\kappa \cdot A}" loading="lazy"> der <a href="Schubfl%C3%A4che" title="Schubfläche">Schubfläche</a> (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht auf).</li></ul>

Durch diese Differentialgleichungen ist somit ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> und dem Biegemoment <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{y}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{y}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3391b1f20df109530a0dcadf3388fe77f7c9b328.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.442ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle M_{y}(x)}" loading="lazy"> im Balken gegeben. Dies führt zu drei Gleichungen, für die ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den <a href="Schnittreaktion" title="Schnittreaktion">Schnittlasten</a> im Balken (Biegemoment und Querkraft) sowie der äußeren <a href="Fl%C3%A4chenlast" title="Flächenlast">Flächenlast</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{z}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{z}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e3f95c45b3a7656aa8e02d83433a1e3a7b23830.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q_{z}(x)}" loading="lazy"> gegeben ist (Die Koordinate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> wird hierbei entlang der Balkenachse gezählt, die Biegung erfolgt um die Koordinaten-Achse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">, die Koordinate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> verläuft in Richtung der Querkraft.):

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung_der_Querkraft_in_der_Theorie_1._Ordnung">Berechnung der Querkraft in der Theorie 1. Ordnung</h2></div>

Die Berechnung der Querkraft ist besonders einfach, wenn das Bauteil, wie im Beispiel oben, <a href="Statische_Bestimmtheit" title="Statische Bestimmtheit">statisch bestimmt</a> gelagert ist, sodass die Schnittreaktionen aus den <a href="Mechanisches_Gleichgewicht" title="Mechanisches Gleichgewicht">Gleichgewichtsbedingungen</a> ableitbar sind. Unter der Voraussetzung, dass nur <a href="Geometrische_Linearisierung" title="Geometrische Linearisierung">kleine Verformungen</a> auftreten, kann ihr Einfluss auf die Kraftangriffspunkte vernachlässigt werden. Bei statisch unbestimmten Problemen oder großen Verformungen müssen alle Gleichungen (<a href="Mechanisches_Gleichgewicht" title="Mechanisches Gleichgewicht">Mechanisches Gleichgewicht</a>, <a href="Kinematik" title="Kinematik">Kinematik</a>, <a href="Elastizit%C3%A4tsgesetz" title="Elastizitätsgesetz">Elastizitätsgesetz</a>) gleichzeitig gelöst werden,<a href="#cite_note-5">[4.1]</a> beispielsweise mit der <a href="Finite-Elemente-Methode" title="Finite-Elemente-Methode">Finite-Elemente-Methode</a>.

An dieser Stelle wird statische Bestimmtheit bei kleinen Verformungen vorausgesetzt, die in vielen Anwendungen, insbesondere im technischen Bereich, vorliegen. Die <a href="Ableitungsfunktion" class="mw-redirect" title="Ableitungsfunktion">Ableitungsfunktion</a> der Querkraft nach der x-Koordinate in Richtung der Balkenachse liefert die <a href="Streckenlast" title="Streckenlast">Streckenlast</a> q:<a href="#cite_note-7">[5.1]</a>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}=-q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9233d85b681a4ac23af1a3362ea3402bcad495fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:10.33ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}=-q}" loading="lazy"></dd></dl>

Umgekehrt ergibt sich der Querkraftverlauf aus der <a href="Integralrechnung#Stammfunktionen_und_der_Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integration</a> der verteilten Last.<a href="#cite_note-8">[5.2]</a> An Stellen, wo

<ul><li>abrupte Änderungen der verteilten Last (beispielsweise an den Enden ihrer Einwirkung),</li>

<li>Querkräfte, insbesondere Lagerreaktionen, oder</li>

<li>Knicke</li></ul>

im Balken auftreten, weist der Querkraftverlauf Knicke oder Sprünge auf. An diesen Stellen ist die Querkraft nicht <a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">differenzierbar</a> und die Streckenlast nicht <a href="Integralrechnung#Axiomatischer_Zugang" title="Integralrechnung">integrierbar</a>.

Um obige Formeln trotzdem anwenden zu können, wird der Balken mittels des <a href="Schnittprinzip" title="Schnittprinzip">Schnittprinzips</a> in Stücke zerlegt, in denen keine abrupten Änderungen stattfinden. In diesen Stücken wird die Querkraft berechnet und mit Hilfe der <a href="Randbedingung" title="Randbedingung">Übergangsbedingungen</a> an den Rändern zum kompletten Verlauf zusammengesetzt.

Die bereichsweise Integration ist schon bei zwei Feldern mit einigem Aufwand verbunden. Die Arbeit lässt sich jedoch mit der <a href="F%C3%B6ppl-Klammer" title="Föppl-Klammer">Föppl-Klammer</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \dots \rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \dots \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26212513a02b1ae540374fe070c0fd4f10a3fa00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.533ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \dots \rangle }" loading="lazy"> (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> Macauley Brackets) vereinfachen. Mit ihrer Hilfe können Unstetigkeiten wie Sprünge oder Knicke einfach beschrieben werden.<a href="#cite_note-9">[5.3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schubmittelpunkt">Schubmittelpunkt</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Schubmittelpunkt" title="Schubmittelpunkt">Schubmittelpunkt</a></div>

Der Schubmittelpunkt ist der Punkt auf einem Balken<a href="Querschnitt_(Mechanik)" title="Querschnitt (Mechanik)">querschnitt</a>, an dem eine Kraft ausgeübt werden muss, damit keine <a href="Torsion_(Mechanik)" title="Torsion (Mechanik)">Torsion</a> entsteht.

Bei Querschnittsflächen mit einer <a href="Symmetrieachse" class="mw-redirect" title="Symmetrieachse">Symmetrieachse</a> liegt der Schubmittelpunkt auf der Symmetrieachse. Bei Querschnittsflächen mit wenigstens zwei Symmetrieachsen liegt der Schubmittelpunkt im Schwerpunkt des Querschnitts (<a href="Fl%C3%A4chenschwerpunkt" class="mw-redirect" title="Flächenschwerpunkt">Flächenschwerpunkt</a>).

Im Allgemeinen, insbesondere bei offenen Profilen, stimmen Schubmittelpunkt und Flächenschwerpunkt aber nicht überein.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schubspannungen">Schubspannungen</h2></div>

Aus den <a href="Bernoullische_Annahmen" title="Bernoullische Annahmen">Bernoullischen Annahmen</a> (insbesondere dass die axiale Verschiebung im Balkenquerschnitt nur von der axialen Koordinate abhängt) folgt eine konstante <a href="Schubspannung" class="mw-redirect" title="Schubspannung">Schubspannung</a> im Querschnitt<a href="#cite_note-10">[4.2]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{xz}=G\left({\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)=G(w'(x)+\psi (x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae2ee6c6ed748f32279b19cce9c4a3ac0bd22efe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:41.549ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \tau _{xz}=G\left({\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)=G(w'(x)+\psi (x))}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit

<ul><li>der <a href="Schubspannung" class="mw-redirect" title="Schubspannung">Schubspannung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{xz}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{xz}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/029adbd956abd22d1f2b06046ca4ad4bc4093433.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.958ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tau _{xz}}" loading="lazy">, wo der erste Index die <a href="Fl%C3%A4chennormale" class="mw-redirect" title="Flächennormale">Flächennormale</a> und der zweite die Wirkrichtung angibt,</li>

<li>dem <a href="Schubmodul" title="Schubmodul">Schubmodul</a> G,</li>

<li>der <a href="Ableitungsfunktion" class="mw-redirect" title="Ableitungsfunktion">Ableitungsfunktion</a> w' der <a href="Biegelinie" title="Biegelinie">Biegelinie</a> w in</li>

<li>der axialen Richtung x, und</li>

<li>dem Drehwinkel ψ der Querschnittsfläche.</li></ul>

Diese Spannungsverteilung ist nur eine erste grobe Näherung und gibt nur die mittlere Schubspannung im Querschnitt an. Wegen der <a href="Cauchy-eulersche_Bewegungsgesetze#Satz_von_der_Gleichheit_der_zugeordneten_Schubspannungen" title="Cauchy-eulersche Bewegungsgesetze">Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{xz}=\tau _{zx}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{xz}=\tau _{zx}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75dc87da48ef620684706cf8b3ab03d2e340a15a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.015ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tau _{xz}=\tau _{zx}}" loading="lazy"> und gleichzeitiger Abwesenheit von Schubspannungen auf der Balkenoberfläche müssen die Schubspannungen an den Querschnittsrändern verschwinden. Aus der Gleichgewichtsbedingung<a href="#cite_note-11">[4.3]</a>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau (z)b(z)=\int _{z}^{\frac {h}{2}}\int _{y_{0}}^{y_{0}+b}{\frac {\partial \sigma _{x}(y,z)}{\partial x}}\operatorname {d} y\,\operatorname {d} z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/170690401e901cfefb7c5b652905382b8a606014.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:38.991ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \tau (z)b(z)=\int _{z}^{\frac {h}{2}}\int _{y_{0}}^{y_{0}+b}{\frac {\partial \sigma _{x}(y,z)}{\partial x}}\operatorname {d} y\,\operatorname {d} z}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt sich aus der Querkraft in einem rechteckigen Balkenquerschnitt mit Höhe h und Breite b(z)=const der parabelförmige Verlauf

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{xz}(z)={\frac {3Q}{2bh}}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2044e37dd134cd99f1ea5050d0f30ac161260b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.243ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \tau _{xz}(z)={\frac {3Q}{2bh}}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Die maximale Schubspannung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{xz,{\rm {max}}}={\frac {3}{2}}{\frac {Q}{bh}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/763e31625d88efbd787ec1c5076a924f79aaa756.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.744ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \tau _{xz,{\rm {max}}}={\frac {3}{2}}{\frac {Q}{bh}}}" loading="lazy"></dd></dl>

tritt bei z=0 auf und ist um die Hälfte größer als die mittlere Schubspannung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {\tau }}={\tfrac {Q}{bh}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {\tau }}={\tfrac {Q}{bh}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cc0ddc82797ac0e2133e5517b22368eac154d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.954ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\bar {\tau }}={\tfrac {Q}{bh}}}" loading="lazy">, und bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=\pm {\tfrac {h}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=\pm {\tfrac {h}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09e52b301105a0fa866f52b3570c2e2f18ef0da6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.778ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle z=\pm {\tfrac {h}{2}}}" loading="lazy"> ist die Schubspannung null.

Die Schubspannung ist in der linearen Elastizität, die hier vorausgesetzt ist, proportional zur <a href="Gleitung" class="mw-redirect" title="Gleitung">Gleitung</a> γ im Querschnitt, der infolgedessen nicht eben bleibt und sich verwölbt.<a href="#cite_note-Sadd-12">[6]</a> Die Bernoullische Annahme vom Ebenbleiben der Querschnitte ist daher nur eine erste Näherung, und die Winkeländerung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w'+\psi }">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w'+\psi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4893f78a026f7356786d781d29769f031a94885.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.702ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w'+\psi }" loading="lazy"> eines Balkenelements muss als mittlere Winkelverzerrung angesehen werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

Bernhard Pichler: <cite style="font-style:italic">202.068 Baustatik 2</cite>. WS2013 Auflage. Wien 2013, VO_06_ThIIO_Uebertragungsbeziehungen (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://tuwel.tuwien.ac.at/course/view.php?id=5027">Onlineplattform der TU Wien</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Querkraft&rft.atitle=VO_06_ThIIO_Uebertragungsbeziehungen&rft.au=Bernhard+Pichler&rft.btitle=202.068+Baustatik+2&rft.date=2013&rft.edition=WS2013&rft.genre=bookitem&rft.place=Wien" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Kurrer-2"><a href="#cite_ref-Kurrer_2-0">↑</a> Diese Beziehung findet sich schon 1851 in elementarer Form bei <a href="Johann_Wilhelm_Schwedler" title="Johann Wilhelm Schwedler">Johann Wilhelm Schwedler</a>. Siehe <a href="Karl-Eugen_Kurrer" title="Karl-Eugen Kurrer">Karl-Eugen Kurrer</a>: <cite style="font-style:italic">The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium</cite>. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 494.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Querkraft&rft.au=Karl-Eugen+Kurrer&rft.btitle=The+History+of+the+Theory+of+Structures.+Searching+for+Equilibrium&rft.genre=book&rft.isbn=9783433032299&rft.pages=494&rft.place=Berlin&rft.pub=Ernst+%26+Sohn" style="display:none">

</li>

Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner: <cite style="font-style:italic">Baustatik VO – LVA-Nr 202.065</cite>. SS2016 Auflage. TU Verlag, Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke (520 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Querkraft&rft.atitle=Lineare+Stabtheorie+ebener+Stabtragwerke&rft.au=Bernhard+Pichler%2C+Josef+Eberhardsteiner&rft.btitle=Baustatik+VO+-+LVA-Nr+202.065&rft.date=2016&rft.edition=SS2016&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783903024175&rft.place=Wien&rft.pub=TU+Verlag" style="display:none">

</li>

<li>↑

D. Gross, W. Hauger, <a href="J%C3%B6rg_Schr%C3%B6der_(Bauingenieur)" title="Jörg Schröder (Bauingenieur)"> J. Schröder</a>, W. A. Wall: <cite style="font-style:italic">Technische Mechanik 2</cite>. Elastostatik. Band 2. Springer-Verlag, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40965-3, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-40966-0_6">10.1007/978-3-642-40966-0_6</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-40966-0_6">Der Arbeitsbegriff in der Elastostatik</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Querkraft&rft.au=D.+Gross%2C+W.+Hauger%2C++J.+Schr%C3%B6der%2C+...&rft.btitle=Technische+Mechanik+2&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-40966-0_6&rft.genre=book&rft.isbn=9783642409653&rft.place=Heidelberg&rft.pub=Springer-Verlag&rft.volume=Band+2" style="display:none">

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D. Gross, W. Hauger, <a href="J%C3%B6rg_Schr%C3%B6der_(Bauingenieur)" title="Jörg Schröder (Bauingenieur)"> J. Schröder</a>, W. A. Wall: <cite style="font-style:italic">Technische Mechanik 1</cite>. Statik. Springer-Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13805-8, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-13806-5">10.1007/978-3-642-13806-5</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Querkraft&rft.au=D.+Gross%2C+W.+Hauger%2C++J.+Schr%C3%B6der%2C+...&rft.btitle=Technische+Mechanik+1&rft.date=2011&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-13806-5&rft.genre=book&rft.isbn=9783642138058&rft.place=Heidelberg&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

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